Question

【題目】【2014高考陜西版文第21題】設函數.

（1）當（為自然對數的底數）時，求的最小值；

（2）討論函數零點的個數；

（3）若對任意恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）2；（2）當時，函數無零點；當或時，函數有且僅有一個零點；當時，函數有兩個零點；（3）.

【解析】

試題分析：（1）當時，，易得函數的定義域為，求出導函數，利用判定函數在定義區間內的單調性，并求出的極小值；

（2）由函數，令，得，

設，由求出函數的單調性以及極值，并且求出函數在的零點，畫出的大致圖像，并從圖像中，可以得知，當在不同范圍的時候，函數和函數的交點個數

（3）對任意恒成立，等價于恒成立，則在上單調遞減，即在恒成立，

求出的取值范圍.

試題解析：（1）當時，

易得函數的定義域為

當時，，此時在上是減函數；

當時，，此時在上是增函數；

當時，取得極小值

(2)函數

令，得

設

當時，，此時在上式增函數；

當時，，此時在上式增函數；

當時，取極大值

令，即，解得，或

函數的圖像如圖所示：

由圖知：

① 當時，函數和函數無交點；

②當時，函數和函數有且僅有一個交點；

③當時，函數和函數有兩個交點；

④時，函數和函數有且僅有一個交點；

綜上所述，當時，函數無零點；當或時，函數有且僅有一個零點；當時，函數有兩個零點.

（3）對任意恒成立

等價于恒成立

設

在上單調遞減

在恒成立

當且僅當當時，

的取值范圍是