Question

【題目】如圖，AC1是正方體ABCD﹣A1B1C1D1的對角線．

（1）求證：平面A1BD∥平面CD1B1；
（2）求證：直線AC1⊥直線BD．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，

∵A1B∥D1C，A1D∥B1C，A1B∩A1D=A1，

A1B，A1D平面A1BD，D1C，B1C平面CD1B1，

∴平面A1BD∥平面CD1B1

（2）證明：連接AC，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，

AC⊥BD，

∴C1C⊥平面ABCD，

∵BD平面ABCD，

∴C1C⊥BD，

∵AC⊥BD，C1C⊥BD，AC∩C1C=C，

∴直線BD⊥平面ACC1，

又AC1平面ACC1，

∴直線AC1⊥直線BD．

【解析】（1）推導出A1B∥D1C，A1D∥B1C，A1B∩A1D=A1 ， 由此能證明平面A1BD∥平面CD1B1 ． （2）連接AC，推導出AC⊥BD，C1C⊥BD，從而直線BD⊥平面ACC1 ， 由此能證明直線AC1⊥直線BD．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解平面與平面平行的判定的相關知識，掌握判斷兩平面平行的方法有三種:用定義；判定定理；垂直于同一條直線的兩個平面平行，以及對直線與平面垂直的性質的理解，了解垂直于同一個平面的兩條直線平行．