Question

【題目】已知函數.

求函數在處的切線方程；

若在，處導數相等，證明：.

若對于任意，直線與函數圖象都有唯一公共點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】；證明見解析；.

【解析】

先求導得函數在處的切線方程為：，代入化簡即可得結論.

根據在，處導數相等，即，為方程的根，

，解得，由韋達定理，的值寫出，

進而求導可證.

將問題傳化為有唯一零點，再利用導數研究函數的單調性，利用函數單調性得函數草圖，根據草圖可得.

解：，

所以，

所以函數在處的切線方程為：

，

即，

根據題意得，，

即，為方程的根，

，

解得，

所以，，

所以

，

令，，

，，

，

當時，，單調遞增.

當時，，單調遞減.

所以，

所以，

所以.

根據題意得，方程只有一個根，

即，只有一個根，

令，有唯一零點，

當趨近于時，趨近于，趨近于時，趨近于，

下面證明恒成立，

若存在，使得，

所以存在，，使得，，

，則與至少有兩個交點，矛盾.

由對于任意，只有一個解，得為上的增函數，

所以，

得，

令，，

則，

所以在上單調遞增，在上單調遞減，

，

得.