Question

在1與2之間插入個正數，使這個數成等比數列；又在1與2之間插入個正數，使這個數成等差數列．記．求：
小題1:求數列和的通項；
小題2:當時，比較與的大小，并證明你的結論

Answer 1

小題1:成等比數列，

 
成等差數列，


所以數列的通項，數列的通項
小題2:要比較與的大小，只需比較的大小，也就是比較當時，與的大小．
當時，，知
經驗證，時，均有成立，猜想，當時有下面用數學歸納法證明：
（ⅰ）時已證
（ⅱ）假設時不等式成立，即，好么
故．即時不等式也成立．
根據（ⅰ）和（ⅱ）當時，成立，即

開放題求解要注意觀察題目的特點，可以先通過特殊數嘗試可能的結果，然后總結歸納出一般規律，利用歸納法證明結論