Question

【題目】已知數列中，，設．

（1）求證：數列是等比數列；

（2）設數列的前項和為，求滿足的的最小值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）10.

【解析】

（1）將數列的遞推公式變形，可得an+1-1＝2（an-1），即可得到結論；（2）先求數列{an}的通項公式；利用分組求和，求前n項和,通過不等式可得n的最值.

（1）證明：∵an+1＝2an﹣1（n∈N*），∴an+1﹣1＝2（an﹣1），a1＝3，

∴{an-1}是以a1﹣1＝2為首項，2為公比的等比數列；

即數列{bn}是等比數列；

（2）由（1）知，an﹣1＝2n，∴an＝2n+1；

數列{an}的前n項和為Sn＝+n＝2n+1﹣2+n．

Sn＞2019，可得，

滿足Sn＞2019的n的最小值n＝10．