Question

【題目】已知數列{an}，{bn}，Sn為數列{an}的前n項和，向量 =（1，bn）， =（an﹣1，Sn）， ∥ ．
（1）若bn=2，求數列{an}通項公式；
（2）若bn= ，a2=0．
①證明：數列{an}為等差數列；
②設數列{cn}滿足cn= ，問是否存在正整數l，m（l＜m，且l≠2，m≠2），使得cl、c2、cm成等比數列，若存在，求出l、m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為 =（1，bn）， =（an﹣1，Sn）， ∥ ．

得Sn=（an﹣1）bn，當bn=2，則Sn=2an﹣2 ①，

當n=1時，S1=2a1﹣2，即a1=2，

又Sn+1=2an+1﹣2 ②，

②﹣①得Sn+1﹣Sn=2an+1﹣2an，

即an+1=2an，又a1=2，

所以{an}是首項為2，公比為2的等比數列，

所以an=2n．

（2）解：①證明：因為 ，則2Sn=nan﹣n③，

當n=1時，2S1=a1﹣1，即a1=﹣1，

又2Sn+1=（ n+1）an+1﹣（n+1）④，

④﹣③得

2Sn+1﹣2Sn=（n+1）an+1﹣nan﹣1，

即（n﹣1）an+1﹣nan﹣1=0 ⑤，

又nan+2﹣（n+1）an+1﹣1=0⑥

⑥﹣⑤得，nan+2﹣2nan+1+nan=0，

即an+2+an=2an+1，所以數列{an}是等差數列．

②又a1=﹣1，a2=0，

所以數列{an}是首項為﹣1，公差為1的等差數列．

an=﹣1+（n﹣1）×1=n﹣2，所以 ，

假設存在l＜m（l≠2，m≠2），使得cl、c2、cm成等比數列，即 ，

可得 ，

整理得5lm﹣4l=4m+4即 ，由 ，得1≤m≤8，

一一代入檢驗 或 或 或 或 或 或 或

由l＜m，所以存在l=1，m=8符合條件．

【解析】（1）利用兩個向量平行的坐標關系得到Sn=（an﹣1）bn ， 進一步對n取值，得到數列{an}是等差數列；（2）①由 ，則2Sn=nan﹣n③，又2Sn+1=（ n+1）an+1﹣（n+1）④，兩式相減即可得到數列{an}的遞推公式，進一步對n 取值，得到數列{an}是首項為﹣1，公差為1的等差數列．
②由①得到數列{cn}通項公式，根據m，l的范圍討論可能的取值．
【考點精析】本題主要考查了等差關系的確定和數列的通項公式的相關知識點，需要掌握如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么這個數列就叫做等差數列；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式才能正確解答此題．