Question

【題目】已知數列{an}的首項a1＝a，Sn是數列{an}的前n項和，且滿足： ＝3n2an＋，an≠0，n≥2，n∈N*．

(1)若數列{an}是等差數列，求a的值；

(2)確定a的取值集合M，使a∈M時，數列{an}是遞增數列．

Answer 1

【答案】（1）3（2）

【解析】試題分析：（1）數列{an}是等差數列，故可從特殊情形出發：先求出a2＝12－2a，a3＝3＋2a．再利用a1＋a3＝2a2，解得a＝3．最后驗證.（2）先由通項與和項關系，將已知條件轉化為遞推關系：an＋1＋an＝6n＋3，(n≥2)．an＋2－an＝6，(n≥2)，即數列a2，a4，a6， ，及數列a3，a5，a7， 都是公差為6的等差數列，要使數列{an}是遞增數列，須有a1＜a2，解得＜a＜．

試題解析：（1）在＝3n2an＋中分別令n＝2，n＝3，及a1＝a得

(a＋a2)2＝12a2＋a2，(a＋a2＋a3)2＝27a3＋(a＋a2)2，

因an≠0，所以a2＝12－2a，a3＝3＋2a． 2分

因數列{an}是等差數列，所以a1＋a3＝2a2，即2(12－2a)＝a＋3＋2a，解得a＝3． 4分

經檢驗a＝3時，an＝3n，Sn＝，Sn－1＝滿足＝3n2an＋

（2）由＝3n2an＋，得－＝3n2an，即(Sn＋Sn－1)(Sn－Sn－1)＝3n2an，

即(Sn＋Sn－1)an＝3n2an，因為an≠0，所以Sn＋Sn－1＝3n2，(n≥2)，① 6分

所以Sn＋1＋Sn＝3(n＋1)2，②

②－①，得an＋1＋an＝6n＋3，(n≥2)．③ 8分

所以an＋2＋an＋1＝6n＋9，④

④－③，得an＋2－an＝6，(n≥2)

即數列a2，a4，a6， ，及數列a3，a5，a7， 都是公差為6的等差數列， 10分

因為a2＝12－2a，a3＝3＋2a．

所以an＝12分

要使數列{an}是遞增數列，須有

a1＜a2，且當n為大于或等于3的奇數時，an＜an＋1，且當n為偶數時，an＜an＋1，

即a＜12－2a，

3n＋2a－6＜3(n＋1)－2a＋6(n為大于或等于3的奇數)，

3n－2a＋6＜3(n＋1)＋2a－6(n為偶數)，

解得＜a＜．所以M＝，當a∈M時，數列{an}是遞增數列． 16分