Question

【題目】已知函數（其中，為自然對數的底數，）.

（1）若，求函數的單調區間；

（2）證明：當時，函數有兩個零點，且.

Answer 1

【答案】(1) 函數的單調遞增區間為，，單調遞減區間為；(2)詳見解析

【解析】

（1）求函數導數，令得或，即可寫出函數的單調區間（2）當時，分析函數的單調性知為函數的極小值點且，，可知函數有兩個零點，且可得，，可得，再構造函數，利用其增減性證明.

(1)

令得或

所以函數的單調遞增區間為，，單調遞減區間為

（2）當時，恒成立，

所以在遞減，在遞增

則為函數極小值點

又因為對于恒成立

對于恒成立

對于恒成立

所以當時，有一個零點，當時，有一個零點

即，

且，

所以

下面再證明即證

由得

又在上遞減，于是只需證明，

即證明

將代入得

令

則

因為為上的減函數，且

所以在上恒成立

于是為上的減函數，即

所以，即成立

綜上所述，