Question

【題目】據俄羅斯新羅西斯克2015年5月17日電 記者吳敏、鄭文達報道：當地時間17日，參加中俄“海上聯合－2015(Ⅰ)”軍事演習的9艘艦艇抵達地中海預定海域，混編組成海上聯合集群．接到命令后我軍在港口M要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的俄軍輪船上，在小艇出發時，輪船位于港口M北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時的航行速度沿正東方向勻速行駛．假設該小艇沿直線方向以v海里/小時的航行速度勻速行駛，經過t小時與輪船相遇．

（1）若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應為多少？

（2）為保證小艇在30分鐘內(含30分鐘)能與輪船相遇，試確定小艇航行速度的最小值并說明你的推理過程；

（3）是否存在v，使得小艇以v海里/小時的航行速度行駛，總能有兩種不同的航行方向與輪船相遇？若存在，試確定v的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】：(1) ;(2) ;(3)

【解析】試題分析：（1）先假設相遇時小艇的航行距離為，根據余弦定理可得到關系式 ，整理后運用二次函數的性質可確定答案；（2）先假設小艇與輪船在某處相遇，根據余弦定理可得到 ，再由 的范圍求得 的最小值；（3）根據（2）中與的關系式，設，然后代入關系式整理成，將問題等價于有兩個不等正根的問題，進而得解.

試題解析：(1) 設相遇時小艇航行的距離為S海里，則

S＝，

當t＝，Smin＝10，v＝30，

即小艇以30的速度航行時，相遇時小艇航行距離最小．

(2) 設小艇與輪船在B處相遇．

由題意得(vt)2＝202＋(30t)2－1 200t·cos60°，

v2＝4002＋675.

∵ 0<t≤， ∴＝2時，v取得最小值10.

(3) 由(2)知v2＝－＋900，設＝μ(μ>0)，

∴ 400μ2－600μ＋900v2＝0.

小艇總能有兩種不同的航行方向與輪船相遇，等價于上述方程應有兩個不等正根，

解得15<v<30.