Question

已知數列{a_n}和{b_n}滿足：a₁=λ，a_n+1=

2

3

an+n-4，bn=(-1)n(an-3n+21)，
其中λ為實數，n為正整數．
（1）對任意實數λ，證明：數列{a_n}不是等比數列；
（2）證明：當λ≠18時，數列 {b_n} 是等比數列；
（3）設S_n為數列 {b_n} 的前n項和，是否存在實數λ，使得對任意正整數n，都有S_n＞-12？若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）假設存在一個實數λ，使{a_n}是等比數列，由題意知（

2

3

λ-3）²=λ(

4

9

λ-4)?

4

9

λ² -4λ+9=

4

9

λ2-4λ?9=0，矛盾．所以{a_n}不是等比數列．
（2）由題設條件知b₁=-（λ+18）≠0．b_n≠0，∴

bn+1

bn

=-

2

3

(n∈Nn)，故當λ≠-18，時，數列{b_n}是以-（λ+18）為首項，-

2

3

為公比的等比數列．
（3）由題設條件得 bn=-(λ+18)•(-

2

3

)n-1，Sn=-

3

5

(λ+18)•[1-(-

2

3

)n]，由此入手能夠推出存在實數λ，使得對任意正整數n，都有S_n＞-12；λ的取值范圍為（-∞，-6）．

解答：解：（1）證明：假設存在一個實數λ，使{a_n}是等比數列，則有a₂²=a₁a₃，（2分）
即（

2

3

λ-3）²=λ(

4

9

λ-4)?

4

9

λ2-4λ+9=

4

9

λ2-4λ?9=0，矛盾．
所以{a_n}不是等比數列．（4分）
（2）解：因為b_n+1=（-1）ⁿ⁺¹[a_n+1-3（n+1）+21]=（-1）ⁿ⁺¹（

2

3

a_n-2n+14）
=-

2

3

（-1）ⁿ•（a_n-3n+21）=-

2

3

b_n（7分）
當λ≠-18時，b₁=-（λ+18）≠0，由上可知b_n≠0，∴

ba+1

bn

=-

2

3

（n∈N⁺）．（8分）
故當λ≠-18時，數列{b_n}是以-（λ+18）為首項，-

2

3

為公比的等比數列（9分）
（3）當λ=-18時，b_n=0，從而S_n=0．成立．（10分）
當λ≠-18時，由（Ⅱ）得bn=-(λ+18)•(-

2

3

)n-1，于是Sn=-

3

5

(λ+18)•[1-(-

2

3

)n]，（12分）
要使對任意正整數n，都有S_n＞-12．
即-

3

5

(λ+18)•[1-(-

2

3

)n]＞12?λ

20

1-(- 2 3 )n

-18．
令f(n)=1-(-

2

3

)n，則
當n為正奇數時，1＜f(n)≤

5

3

：
當n為正偶數時，

5

9

≤f(n)＜1，∴f(n)的最大值為f(1)=

5

3

．（16分）
于是可得λ＜20×

3

5

-18=-6．
綜上所述，存在實數λ，使得對任意正整數n，都有S_n＞-12；λ的取值范圍為（-∞，-6）．（18分）

點評：本題考查數列的綜合應用，解題時要注意公式的靈活運用．對于證明數列不是等比數列的問題實際上不好表述，我們可以選擇反證法來證明，假設存在推出矛盾．