Question

已知數列{a_n}和等比數列{b_n}滿足：a₁=b₁=4，a₂=b₂=2，a₃=1，且數列{a_n+1-a_n}是等差數列，n∈N^*，
（Ⅰ）求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）問是否存在k∈N^*，使得ak-bk∈(

1

2

，3]？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設可知，bn=4×(

1

2

)n-1=(

1

2

)n-3，由此能夠推出an=

n2-7n+14

2

．
（Ⅱ）設cn=an-bn=

n2-7n+14

2

-(

1

2

)n-3，由題設條件知cn+1-cn=(n-3)+(

1

2

)n-2，由此入手能夠推導出存在k=5，使得ak-bk∈(

1

2

，3]．

解答：解：（Ⅰ）由題設可知，bn=4×(

1

2

)n-1=(

1

2

)n-3，
∵a₂-a₁=-2，a₃-a₂=-1，
∴a_n+1-a_n=-2+（n-1）×1=n-3，
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）++（a_n-a_n-1）=4+(-2)+(-1)++(n-4)=4+

(n-1)(n-6)

2

，
∴an=

n2-7n+14

2

．
（Ⅱ）設cn=an-bn=

n2-7n+14

2

-(

1

2

)n-3，
顯然，n=1，2，3時，c_n=0，
又cn+1-cn=(n-3)+(

1

2

)n-2，
∴當n=3時，c4-c3=

1

2

，∴a4-b4=

1

2

，
當n=4時，c5-c4=

5

4

，∴a5-b5=

7

4

，
當n=5時，c6-c5=

17

8

，∴a6-b6=

31

8

＞3，
當n≥6時，cn+1-cn=(n-3)+(

1

2

)n-2＞3恒成立，
∴c_n+1=a_n+1-b_n+1＞3+c_n＞3恒成立，
∴存在k=5，使得ak-bk∈(

1

2

，3]．

點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答．