Question

已知數列{a_n}和{b_n}滿足a1=m，an+1=λan+n，bn=an-

2n

3

+

4

9

．
（1）當m=1時，求證：對于任意的實數λ，{a_n}一定不是等差數列；
（2）當λ=-

1

2

時，試判斷{b_n}是否為等比數列．

Answer 1

分析：（1）要證明{a_n}不是等差數列，只須證明a₁+a₃≠2a₂，利用反證法即可完成；
（2）要判斷{b_n}是否為等比數列，只須緊扣等比數列的定義，證明bn+1：bn=同一個常數，注意對b₁≠0的討論．

解答：解：（1）當m=1時，a₁=1．a₂=λ+1，a₃=λ（λ+1）+2=λ²+λ+2
假設{a_n}是等差數列，由a₁+a₃=2a₂，
得λ²+λ+3=2（λ+1），
即λ²-λ+1=0，
∴△=-3＜0，
∴方程無實根．
故對于任意的實數λ，{a_n}一定不是等差數列．
（2）當λ=-

1

2

時，an+1=-

1

2

an+n，bn=an-

2n

3

+

4

9

bn+1=an+1-

2(n+1)

3

+

4

9

=(-

1

2

an+n)-

2(n+1)

3

+

4

9

=-

1

2

an+

n

3

-

2

9

=-

1

2

(an-

2n

3

+

4

9

)=-

1

2

bn又b1=m-

2

3

+

4

9

=m-

2

9

，
∴當m≠

2

9

時，{bn}是以m-

2

9

為首項，-

1

2

為公比的等比數列，
當m=

2

9

時，{bn}不是等比數列．

點評：判斷一個數列是等差數列或等比數列的常規方法是根據定義判斷，而判斷一個數列不是等差數列或等比數列，則只須證明其中的前三項構不成等差或等比關系即可．