Question

已知數列{a_n}和{b_n}滿足：a=1，a1=2，a2＞0，bn=

a1an+1

(n∈N*)．且{b_n}是以
a為公比的等比數列．
（Ⅰ）證明：a_a+2=a₁a²；
（Ⅱ）若a_3n-1+2a₂，證明數例{c_x}是等比數例；
（Ⅲ）求和：

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+

1

a4

+…+

1

a2n-1

+

1

a2n

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由

bn+1

bn

=q，知

an+1an+2

anan+1

=

an+2

an

=q，由此可得a_n+2=a_nq²（n∈N*）．
（Ⅱ）由題意知a_2n-1=a₁q^2n-2，a_2n=a₂q^n-2，所以c_n=a_2n-1+2a_2n=5q^2n-2．由此可知{c_n}是首項為5，以q²為公比的等比數列．
（Ⅲ）由題設條件得

1

a2n-1

=

1

a1

q2-2n，

1

a2n

=

1

a2

q2-2n，所以

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2n

=(

1

a1

+

1

a3

+…+

1

a2n-1

)+(

1

a2

+

1

a4

+…+

1

a2n

)=

3

2

(1+

1

q2

+

1

q1

+…+

1

q2n-2

)．由此可知

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2n

=

3 2 n，q=1 3 2 [ q2n-1 q2n-2(q2-1) ]，q≠1.

解答：解：（Ⅰ）證：由

bn+1

bn

=q，
有

an+1an+2

anan+1

=

an+2

an

=q，
∴a_n+2=a_nq²（n∈N^*）．

（Ⅱ）證：∵a_n=q_n-2q²，
∴a_2n-1=a_2n-3q²=a₁q^2n-2，
a_2n=a_2n-2q²=a₂q^n-2，
∴c_n=a_2n-1+2a_2n=a₁q^2n-2+2a₂q^2n-2=（a₁+2a₂）q^2n-2=5q^2n-2．
∴{c_n}是首項為5，以q²為公比的等比數列．

（Ⅲ）由（Ⅱ）得

1

a2n-1

=

1

a1

q2-2n，

1

a2n

=

1

a2

q2-2n，于是

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2n

=(

1

a1

+

1

a3

+…+

1

a2n-1

)+(

1

a2

+

1

a4

+…+

1

a2n

)
=

1

a1

(1+

1

q2

+

1

q4

+…+

1

q2n-2

)+

1

a2

(1+

1

q2

+

1

q4

+…+

1

q2n-2

)
=

3

2

(1+

1

q2

+

1

q1

+…+

1

q2n-2

)．
當q=1時，

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2n

=

3

2

(1+

1

q2

+

1

q4

+…+

1

q2n-2

)=

3

2

n．
當q≠1時，

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2n

=

3

2

(1+

1

q2

+

1

q4

+…+

1

q2n-2

)=

3

2

(

1-q-2n

1-q-2

)=

3

2

[

q2n-1

q2n-2(q2-1)

]．
故

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2n

=

3 2 n，q=1 3 2 [ q2n-1 q2n-2(q2-1) ]，q≠1.

點評：本題主要考查等比數列的定義，通項公式和求和公式等基本知識及基本的運算技能，考查分析問題能力和推理能力．