Question

在平面直角坐標系xOy中，設曲線C₁：所圍成的封閉圖形的面積為，曲線C₁上的點到原點O的最短距離為．以曲線C₁與坐標軸的交點為頂點的橢圓記為C₂．
（1）求橢圓C₂的標準方程；
（2）設AB是過橢圓C₂中心O的任意弦，l是線段AB的垂直平分線．M是l上的點（與O不重合）．
①若MO＝2OA，當點A在橢圓C₂上運動時，求點M的軌跡方程；
②若M是l與橢圓C₂的交點，求△AMB的面積的最小值．

Answer 1

（1）;（2）①;②．

試題分析：（1）對于曲線C₁：的處理，關鍵問題是兩個絕對值的處理，根據x,y的特點，不難發現與坐標系中的四個象限有關，進而即可得到，即可得出橢圓方程; （2）①由l是線段AB的垂直平分線，可轉化為：，又由MO＝2OA，可轉化得到：，這樣的好處是兩條件均轉化為向量了，設出點M和點A的坐標即可得到關系：解出再利用點M在所求橢圓上即可求出：;②中要求△AMB的面積的最小值，根據此地三角形的特點，不難想到直線AB的設出，根據斜率是否存在，可先考慮兩種特殊情況：一種不存在;另一種為0，再考慮一般情形，運用方程組思想即可得：和，進而表示出面積：，最后結合不等式知識即可求出最小值．
試題解析：（1）由題意得 又，解得，．
因此所求橢圓的標準方程為．                                4分
（2）①設，，則由題設知：，．
即 解得                               8分
因為點在橢圓C₂上，所以，
即，亦即．
所以點M的軌跡方程為．                                   10分
②假設AB所在的直線斜率存在且不為零，設AB所在直線方程為y＝kx(k≠0)．
解方程組 得，，
所以，.
又 解得，，所以．     12分
由于
，
當且僅當時等號成立，即k＝±1時等號成立，
此時△AMB面積的最小值是S_△AMB＝．                                 15分
當k＝0，S_△AMB；
當k不存在時，S_△AMB．
綜上所述，△AMB面積的最小值為．                                    16分