Question

【題目】設(shè)雙曲線 的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、F2離心率e=2.
（1）求此雙曲線的漸近線l1、l2的方程；
（2）若A、B分別為l1、l2上的點(diǎn)，且 求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.
（3）過點(diǎn)N（1，0）能否作直線l ， 使l與雙曲線交于不同兩點(diǎn)P、Q.且 ，若存在，求直線l的方程，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】
（1）

【解答】雙曲線離心率為, ，所以漸近線方程：

（2）

【解答】設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2）AB的中點(diǎn)M（x，y）∵2|AB|=5|F1F2|∴|AB|=10

∴(x1，x2)2+(y1–y2)2=100，又 ， ，x1+x2=2x，y1+y2=2y．

∴ ，

∴ , 即

（3）

【解答】假設(shè)存在這樣的直線e，設(shè)其方程為y=k(x-1) P(x1，y1)，Q(x2，y2)∵

∴x1x2+y1y2=0 ∴x1x2+k2[x1x2-(x1+x2)+1]=0 ①

由 得(3k2-1)x2-6k2x+3k2-3=0 ∴ ②

由①②得： k2+3=0 ∴k不存在，即這樣的直線不存在．

【解析】本題考查了雙曲線的定義分析問題、解決問題的能力