Question

【題目】已知曲線.

（1）當時，求曲線在處的切線方程；

（2）過點作曲線的切線，若所有切線的斜率之和為1，求的值.

Answer 1

【答案】(I) ；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：（1）根據曲線的解析式求出導函數，把的橫坐標代入導函數中即可求出切線的斜率根據點斜式可得切線的方程；（2）設出曲線過點切線方程的切點坐標，把切點的橫坐標代入到（1）求出的導函數中即可表示出斜率，根據切點坐標和表示出的斜率，寫出切線的方程，把的坐標代入切線方程即可得到關于切點橫坐標的方程，解方程方即可得到切點橫坐標的值，分別代入所設的切線方程即可的結果.

試題解析：（Ⅰ）當a＝1時， ，∴f'（x）＝x2－1，

∴k切＝f'（2）＝4－1＝3．

∵，

所以切線方程為，整理得9x－3y－10＝0．

（Ⅱ）設曲線的切點為（x0，y0），則，

所以切線方程為．

又因為切點（x0，y0）既在曲線f（x）上，又在切線上，所以聯立得

可得x0＝0或x0＝3，

所以兩切線的斜率之和為－a＋（9－a）＝9－2a＝1，∴a＝4．

【方法點晴】本題主要考查導數的幾何意義、利用導數求曲線切線，屬于中檔題.求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導數，即在點 出的切線斜率（當曲線在處的切線與軸平行時，在 處導數不存在，切線方程為）；（2）由點斜式求得切線方程.