Question

【題目】已知函數，.

（1）求直線與曲線相切時，切點的坐標；

（2）當時，恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（1，0）（2）

【解析】

求出函數的導函數,設所求切點的坐標為,利用導數的幾何意義可得切線的斜率為，再由切點滿足函數和，從而得到關于的方程組,解方程即可;

當時，恒成立，等價于對恒成立.

構造函數，則，，

分兩種情況和利用導數討論函數單調性及最值即可.

因為函數，所以，

設直線與曲線相切的切點的坐標為，

則，整理化簡得.

令，則，

∴在上單調遞減，

∴由零點存在性定理可得,在最多有一個實數根.

又∵，∴，此時，

即切點的坐標為（1，0）.

（2）當時，恒成立，等價于對恒成立.

令，則，.

①當，時，，

∴，在上單調遞增，因此符合題意.

②當時，令得.

由與得，.

∴當時，，單調遞減，

∴當時，，不符合題意；

綜上所述得，的取值范圍是.