Question

【題目】已知.

（1）若，求在處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；

（2）若在上的最大值為，求的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1），求導，再求得，得到切線方程為.再分別令，，得到在坐標軸上的截距，再代入三角形面積求解.

（2）.時，，故在上單調遞增，易得在上的最大值，當時，令，得.再分， ，三種情況討論求解.

（1）若，則，.所以，.

則切線方程為.令，得，令，得，則切線與兩坐標軸圍成的三角形面積為.

（2）.

（ⅰ）當時，，故在上單調遞增，

所以在上的最大值為.所以.

（ⅱ）當時，令，得.

①當，即時，在上單調遞增，

所以在上的最大值為，所以，舍去.

②當，即時，在上單調遞減，

所以在上的最大值為，所以，不滿足，舍去.

③當，即時，在上單調遞減，在上單調遞增.

由上面分析可知，當時，不可能是最大值.

而，，由，可得，

此時，，的最大值為.

所以，不符合，舍去.

綜上可知，.