【題目】某省2016年高中數學學業水平測試的原始成績采用百分制，發布成績使用等級制.各等制劃分標準為：85分及以上，記為
等；分數在
內，記為
等；分數在
內，記為
等；60分以下，記為
等.同時認定
為合格， 
為不合格.已知甲，乙兩所學校學生的原始成績均分布在
內，為了比較兩校學生的成績，分別抽取50名學生的原始成績作為樣本進行統計，按照
的分組作出甲校的樣本頻率分布直方圖如圖1所示，乙校的樣本中等級為
的所有數據莖葉圖如圖2所示.
（Ⅰ）求圖1中
的值，并根據樣本數據比較甲乙兩校的合格率；
（Ⅱ）在選取的樣本中，從甲，乙兩校
等級的學生中隨機抽取3名學生進行調研，用
表示所抽取的3名學生中甲校的學生人數，求隨機變量
的分布列和數學期望．
【答案】(1)
；甲、乙兩校的合格率均為96%;（2）詳見解析.
【解析】試題分析：（1）頻率分布直方圖中，小矩形的和為頻率和，和為1，這樣可得到
的值；合格率為大于等于60分的頻率和;（2）
為
級，甲校C級的頻率為
，人數為
，而乙校C級的人數為4人，隨機抽取3人中，甲校學生人數
的可能取值為0，1，2，3，所對應的概率
，列分布列并求數學期望.
試題解析：（1）由題意，可知
，
∴
．．．．．．．．．．．．．．．．2分
∴甲學校的合格率為
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
而乙學校的合格率為
．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
∴甲、乙兩校的合格率均為96%．．．．．．．．．．．．．．．．5分
（2）樣本中甲校等級的學生人數為
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
而乙校等級的學生人數為4．
∴隨機抽取3人中，甲校學生人數
的可能取值為0，1，2，3．．．．．．．．．．．7分
∴
，
∴
的分布列為
| 0 | 1 | 2 | 3 |
|
|
|
|
|
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分
數學期望
．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】橢圓
：
，其長軸是短軸的兩倍，以某短軸頂點和長軸頂點為端點的線段作為直徑的圓的周長為
，直線
與橢圓交于
，
兩點.
（1）求橢圓的方程；
（2）過點
作直線的垂線，垂足為
.若
，求點的軌跡方程；
（3）設直線
，，
的斜率分別為
，
，
，其中
且
.設
的面積為
.以、為直徑的圓的面積分別為
，
，求
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4－4：坐標系與參數方程
在平面直角坐標系
中，直線
的參數方程為
(
為參數)，圓
的方程為
.以原點
為極點，
軸正半軸為極軸建立極坐標系.
(Ⅰ)求直線及圓的極坐標方程；
(Ⅱ)若直線與圓交于
兩點，求
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2017 高考特別強調了要增加對數學文化的考查，為此某校高三年級特命制了一套與數學文化有關的專題訓練卷（文、理科試卷滿分均為
分），并對整個高三年級的學生進行了測試.現從這些學生中隨機抽取了
名學生的成績，按照成績為
分成了
組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖（假定每名學生的成績均不低于分）.
（1）求頻率分布直方圖中的
的值，并估計所抽取的名學生成績的平均數、中位數（同一組中的數據用該組區間的中點值代表）；
（2）若高三年級共有
名學生，試估計高三學生中這次測試成績不低于
分的人數；
（3）若利用分層抽樣的方法從樣本中成績不低于分的三組學生中抽取
人，再從這人中隨機抽取
人參加這次考試的考后分析會，試求后兩組中至少有
人被抽到的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，正三棱柱
的各條棱長均相等， 
為
的中點， 
分別是線段
和線段
上的動點（含端點），且滿足
.當
運動時，下列結論中不正確的是（ ）
A. 平面
平面
B. 三棱錐
的體積為定值
C. 
可能為直角三角形 D. 平面
與平面
所成的銳二面角范圍為
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】阿基米德是古希臘偉大的哲學家、數學家、物理學家，對幾何學、力學等學科作出過卓越貢獻．為調查中學生對這一偉大科學家的了解程度，某調查小組隨機抽取了某市的100名高中生，請他們列舉阿基米德的成就，把能列舉阿基米德成就不少于3項的稱為“比較了解”，少于三項的稱為“不太了解”他們的調查結果如下：
（1）完成如下
列聯表，并判斷是否有99%的把握認為，了解阿基米德與選擇文理科有關？
（2）在抽取的100名高中生中，按照文理科采用分層抽樣的方法抽取10人的樣本．
（ⅰ）求抽取的文科生和理科生的人數；
（ⅱ）從10人的樣本中隨機抽取3人，用
表示這3人中文科生的人數，求的分布列和數學期望．參考數據：
，
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某單位從一所學校招收某類特殊人才,對
位已經選拔入圍的學生進行運動協調能力和邏輯思維能力的測試,其測試結果如下表:
例如,表中運動協調能力良好且邏輯思維能力一般的學生有
人.由于部分數據丟失,只知道從這位參加測試的學生中隨機抽取一位,抽到運動協調能力或邏輯思維能力優秀的學生的概率為
.
（Ⅰ）求
的值;
（Ⅱ）從參加測試的位學生中任意抽取
位,求其中至少有一位運動協調能力或邏輯思維能力優秀的學生的概率;
（III）從參加測試的位學生中任意抽取位,設運動協調能力或邏輯思維能力優秀的學生人數為
,求隨機變量的分布列.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】我國古代數學專著《九章算術》中有一個“兩鼠穿墻題”，其內容為：“今有垣厚五尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半．問何日相逢？各穿幾何？”如圖的程序框圖源于這個題目，執行該程序框圖，若輸入x=20，則輸出的結果為（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
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