Question

設二次函數f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）滿足下列條件：
①當x∈R時，f（x）的最小值為0，且圖象關于直線x=-1對稱；
②當x∈（0，5）時，x≤f（x）≤2|x-1|+1恒成立．
（1）求f（1）的值；
（2）求函數f（x）的解析式；
（3）若f（x）在區間[m-1，m]上恒有|f（x）-x|≤1，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由“當x∈（0，5）時，x≤f（x）≤2|x-1|+1恒成立”得到當x=1時，也成立，所以有1≤f（1）≤1，
從而得到f（1）；
（2）由“當x∈R時，f（x）的最小值為0，且圖象關于直線x=-1對稱”，可知對稱軸及在對稱軸處取得最值，創造兩個條件，再由f（1）=1，可求得二次函數的解析式．
（3）根據第二問可設：g（x）=f（x）-x=

1

4

(x-1)2，由“|f（x）-x|≤1”可得x∈[-1，3]，從而求得結論．

解答：解：（1）∵當x∈（0，5）時，x≤f（x）≤2|x-1|+1恒成立
∴1≤f（1）≤1
∴f（1）=1；
（2）∵當x∈R時，f（x）的最小值為0，且圖象關于直線x=-1對稱；
∴-

b

2a

=-1，f（-1）=a-b+c=0
又∵f（1）=a+b+c=1
∴a=

1

4

，b=

1

2

，c=

1

4

∴f(x)=

1

4

(x+1)2；
（3）設g（x）=f（x）-x=

1

4

(x-1)2
關于x=1對稱 
當x∈[-1，3]時，|f（x）-x|≤1
∴0≤m≤3．

點評：本題主要考查二次函數求解析式，里面有三個未知數所以要尋求三個條件來解，同時還考查了用二次函數構造新函數來研究恒成立問題，二次函數滲透性強，應用范圍廣，圖象和性質要靈活掌握．