Question

設二次函數f（x）=ax²+（2b+1）x-a-2（a，b∈R，a≠0）在[3，4]上至少有一個零點，求a²+b²的最小值．

Answer 1

分析：把等式看成關于a，b的直線方程：（x²-1）a+2xb+x-2=0，根據直線上一點（a，b）到原點的距離大于等于原點到直線的距離，得一不等式，對式子進行恰當變形后，利用函數的單調性可求得a²+b²的最小值．

解答：解：把等式看成關于a，b的直線方程：（x²-1）a+2xb+x-2=0，
由于直線上一點（a，b）到原點的距離大于等于原點到直線的距離，即

a2+b2

≥

|x-2|

(x2-1)2+(2x)2

，
所以a2+b2≥(

x-2

1+x2

)2=

1

(x-2+ 5 x-2 +4)2

≥

1

100

，
因為x-2+

5

x-2

在x∈[3，4]是減函數，上述式子在x=3，a=-

2

25

，b=-

3

50

時取等號，
故a²+b²的最小值為

1

100

．

點評：本題考查二次函數的性質、函數的單調性及不等式知識，考查學生靈活運用知識解決問題的能力，能力要求較高．