Question

【題目】某地政府在該地一水庫上建造一座水電站，用泄流水量發電，如圖是根據該水庫歷年的日泄流量的水文資料畫成的日泄流量X（單位：萬立方米）的頻率分布直方圖（不完整），已知X∈[0，120]，歷年中日泄流量在區間[30，60）的年平均天數為156天，一年按364天計．
（1）請把頻率直方圖補充完整；
（2）該水電站希望安裝的發電機盡可能運行，但每30萬立方米的日泄流量才能夠運行一臺發電機，如60≤X＜90時才夠運行兩臺發電機，若運行一臺發電機，每天可獲利潤4000元，若不運行，則該臺發電機每天虧損500元，以各段的頻率作為相應段的概率，以水電站日利潤的期望值為決策依據．問：為使水電站日利潤的期望值最大，該水電站應安裝多少臺發電機？

Answer 1

【答案】
（1）解：在區間[30，60）的頻率為 ，

= = ，

設在區間[0，30）上， =a，

則（a+ ）×30=1，

解得a= ，

補充頻率分布直方圖如右圖所示．

（2）解：記水電站日利潤為Y元．由（Ⅰ）知：不能運行發電機的概率為 ，

恰好運行一臺發電機的概率為 ，恰好運行二臺發電機的概率為 ，

恰好運行三臺發電機的概率為 ，

①若安裝1臺發電機，則Y的值為﹣500，4000，其分布列為：

Y	﹣500	4000
P

E（Y）=﹣500× +4000× = ．

②若安裝2臺發電機，則Y的值為﹣1000，3500，8000，其分布列為：

Y	﹣1000	3500	8000
P

E（Y）=﹣1000× +3500× +8000× = ．

③若安裝3臺發電機，則Y的值為﹣1500，3000，7500，12000，其分布列為

Y	﹣1500	3000	7500	12000
P

E（Y）=﹣1500× +3000× +7500× +12000× = ，

∵ ，

∴要使水電站日利潤的期望值最大，該水電站應安裝3臺發電機．

【解析】（Ⅰ）設在區間[0，30）上， =a，由頻率分布直方圖的性質求出a= ，由此能補充完整頻率分布直方圖．（Ⅱ）記水電站日利潤為Y元．不能運行發電機的概率為 ，恰好運行一臺發電機的概率為 ，恰好運行二臺發電機的概率為 ，恰好運行三臺發電機的概率為 ，分別求出安裝1臺發電機、安裝2臺發電機、安裝3臺發電機的數學期望，由此得到要使水電站日利潤的期望值最大，該水電站應安裝3臺發電機．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解頻率分布直方圖的相關知識，掌握頻率分布表和頻率分布直方圖，是對相同數據的兩種不同表達方式.用緊湊的表格改變數據的排列方式和構成形式，可展示數據的分布情況.通過作圖既可以從數據中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息．