Question

【題目】已知橢圓的右頂點為，上頂點為，離心率， 為坐標原點，圓與直線相切.

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）已知四邊形內接于橢圓.記直線的斜率分別為，試問是否為定值？證明你的結論.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】試題分析：

（Ⅰ）根據直線與圓相切可得關于的方程，再根據離心率得到的另一方程，由此解得， ，從而可得橢圓的方程．（Ⅱ）根據題意設直線的方程為，與橢圓方程聯立消元后得到二次方程，設， ，根據根與系數的關系

可得， ．又， ，然后計算可得為定值．

試題解析：

（I）直線的方程為，即 ，

由圓與直線相切，得，即①.

又，

所以②.

由①②得， .

故橢圓的標準方程為

（II）為定值，證明過程如下：

由（I）得直線的方程為，故可設直線的方程為，顯然.

由消去整理得，

因為直線與橢圓交于兩點，

所以．

設， ，

則， ．

又， ，

所以

.

故是定值．