Question

【題目】如圖，點列{An}、{Bn}分別在某銳角的兩邊上,且|AnAn+1|=|An+1An+2|，An≠An+1 ， n∈N* ， |BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|，Bn≠Bn+1 ， n∈N* ， （P≠Q(mào)表示點P與Q不重合）若dn=|AnBn|，Sn為△AnBnBn+1的面積，則（　　）

A.{Sn}是等差數(shù)列
B.{Sn2}是等差數(shù)列
C.{dn}是等差數(shù)列
D.{dn2}是等差數(shù)列

Answer 1

【答案】A
【解析】解：設(shè)銳角的頂點為O，|OA1|=a，|OB1|=b，
|AnAn+1|=|An+1An+2|=b，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|=d，
由于a，b不確定，則{dn}不一定是等差數(shù)列，
{dn2}不一定是等差數(shù)列，
設(shè)△AnBnBn+1的底邊BnBn+1上的高為hn ，
由三角形的相似可得 = = ， = = ，兩式相加可得， = =2，
即有hn+hn+2=2hn+1 ，
由Sn= dhn ， 可得Sn+Sn+2=2Sn+1 ，
即為Sn+2﹣Sn+1=Sn+1﹣Sn ，
則數(shù)列{Sn}為等差數(shù)列．
故選：A．
設(shè)銳角的頂點為O，再設(shè)|OA1|=a，|OB1|=b，|AnAn+1|=|An+1An+2|=b，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|=d，由于a，b不確定，判斷C，D不正確，設(shè)△AnBnBn+1的底邊BnBn+1上的高為hn ， 運用三角形相似知識，hn+hn+2=2hn+1 ， 由Sn= dhn ， 可得Sn+Sn+2=2Sn+1 ， 進而得到數(shù)列{Sn}為等差數(shù)列．本題考查等差數(shù)列的判斷，注意運用三角形的相似和等差數(shù)列的性質(zhì)，考查化簡整理的推理能力，屬于中檔題．