Question

【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，M，N分別是PA，BC的中點，且AD=2PD=2．

（1）求證：MN∥平面PCD；

（2）求證：平面PAC⊥平面PBD；

（3）求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）見解析（3）

【解析】

（1）先證明平面MEN∥平面PCD，再由面面平行的性質證明MN∥平面PCD；

（2）證明AC⊥平面PBD，即可證明平面PAC⊥平面PBD；

（3）利用錐體的體積公式計算即可．

（1）證明：取AD的中點E，連接ME、NE，

∵M、N是PA、BC的中點，

∴在△PAD和正方形ABCD中，ME∥PD，NE∥CD；

又∵ME∩NE=E，PD∩CD=D，

∴平面MEN∥平面PCD，

又MN平面MNE，

∴MN∥平面PCD；

（2）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD，

又∵PD⊥底面ABCD，

∴PD⊥AC，

且PD∩BD=D，

∴AC⊥平面PBD，

∴平面PAC⊥平面PBD；

（3）∵PD⊥底面ABCD，

∴PD是四棱錐P-ABCD的高，且PD=1，

∴正方形ABCD的面積為S=4，

∴四棱錐P-ABCD的體積為

VP-ABCD=×S四邊形ABCD×PD=×4×1=．