Question

【題目】已知點P（0，-2），橢圓E： 的離心率為，F是橢圓E的右焦點，直線PF的斜率為2，O為坐標原點．

（1）求橢圓E的方程；

（2）直線l被圓O：x2+y2=3截得的弦長為3，且與橢圓E交于A、B兩點，求△AOB面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）由直線PF的斜率和離心率列方程組求解即可；

（2）當直線l與y軸平行時，易得△AOB面積為，當直線l與y軸不平行時，設直線l的方程為y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），由直線與橢圓聯立得（2k2+1）x2+4kmx+2（m2-1）=0，用弦長公式和點到直線距離公式求解面積即可.

試題解析：

（1）設F（c，0），由已知得，直線PF的斜率k=，得c=1，又，

則，b=1，故橢圓E的方程為

（2）記點O到直線l的距離為d，則，

①當直線l與y軸平行時，直線l的方程為，易求，∴，

②當直線l與y軸不平行時，設直線l的方程為y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），

由已知得，∴，

由得（2k2+1）x2+4kmx+2（m2-1）=0，又△=10k2+2＞0，

∴，，∴，

，

，當且僅當k=±1時取等號，

綜上當k=±1時，△AOB面積的最大值為