Question

【題目】如圖，已知動圓過定點且與軸相切，點關于圓心的對稱點為，點的軌跡為

（1）求曲線的方程；

（2）一條直線經過點，且交曲線于、兩點，點為直線上的動點.

①求證：不可能是鈍角；

②是否存在這樣的點，使得是正三角形？若存在，求點的坐標；否則，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①證明見解析；②存在，.

【解析】

（1）可設，可由與關于圓心對稱，求得圓心，再由半徑處處相等建立等式，化簡即可求解；

（2）設直線，，聯立方程得關于的表達式，結合韋達定理和向量的表示方法，即可求證；

（3）可假設存在點，設的中點為，由直線和垂直關系求出點，由韋達定理和弦長公式求得弦，結合即可求解具體的的值，進而求解點；

（1）設，因為點在圓上，且點關于圓心的對稱點為，

則，而，則，化簡得：，所以曲線的方程為.

（2）①設直線，,

由，得，

則.

，

，

則不可能是鈍角.

②假設存在這樣的點，設的中點為，由①知;

，則，則，

則，而，由得，，所以存在點.