Question

【題目】已知橢圓的左右焦點分別為，離心率為，是橢圓上的一個動點，且面積的最大值為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線斜率為，且與橢圓的另一個交點為，是否存在點，使得若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2)見解析

【解析】

（1）由題可得當(dāng)為的短軸頂點時，的面積有最大值，根據(jù)橢圓的性質(zhì)得到、、的方程，解方程即可得到橢圓的方程；

（2）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立消去，得到關(guān)于的一元二次方程，表示出根與系數(shù)的關(guān)系，即可得到的中點坐標(biāo)，要使，則直線為線段的垂直平分線，利用直線垂直的關(guān)系即可得到關(guān)于的式子，再利用基本不等式即可求出的取值范圍。

解（1）當(dāng)為的短軸頂點時，的面積有最大值

所以，解得，故橢圓的方程為：.

（2）設(shè)直線的方程為，

將代入，得；

設(shè)，線段的中點為，

，

即

因為，所以直線為線段的垂直平分線，

所以，則，即，

所以，

當(dāng)時，因為，所以，

當(dāng)時，因為，所以.

綜上，存在點，使得，且的取值范圍為.