Question

【題目】在直三棱柱中，，，過的截面與面交于．

（1）求證：．

（2）若截面過點，求證：面．

（3）在（2）的條件下，求．

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）見解析；（3）.

【解析】

（1）由三棱柱結構特征，證得面，再由線面平行的性質定理，即可得到；

（2）取的中點，連接和，得到，再由勾股定理，證得，利用線面垂直的判定定理，即可得到面，進而得到面．

（3）由，即可求得三棱錐的體積．

（1）由題意，在直三棱柱中，可得，所以面，

又∵面，面，

由線面平行的性質定理，可得．

（2）取的中點，連接和，

∵截面過點，∴截面即為面，

∴、分別為，中點，即，

又∵為中點，∴，

在中，，，∴，

同理，，在中，，

∴為直角三角形，即，

又∵，∴面，∴面．

（3）由（2）可得面，所以，且，

又由，且，可得面，且E，

又由

．