Question

【題目】在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知cos2B＋cosB＝1－cosAcosC.

（1）求證：a，b，c成等比數列；

（2）若b＝2，求△ABC的面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）．

【解析】分析：（1）根據正弦定理，結合等比數列的定義即可得到結論．
（2）由，可得，利用余弦定理求得的最小值，可得 的最大值．由的面積

可得它的最大值．

詳解：

（1）證明：在△ABC中，cosB＝－cos(A＋C)．

由已知，得(1－sin2B)－cos(A＋C)＝1－cosAcosC，

∴－sin2B－(cosAcosC－sinAsinC)＝－cosAcosC，

化簡，得sin2B＝sinAsinC.由正弦定理，得b2＝ac，

∴a，b，c成等比數列．

（2）由(1)及題設條件，得ac＝4.

則cosB＝＝≥＝，

當且僅當a＝c時，等號成立．

∵0<B<π，∴sinB＝≤＝.

∴S△ABC＝acsinB≤×4×＝.

∴△ABC的面積的最大值為.