Question

【題目】已知函數．

（1）當時，求函數的單調區間；

（2）若函數既有一個極小值又有一個極大值，求的取值范圍；

（3）若存在，使得當時， 的值域是，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) 的增區間為，減區間為；(2) ；(3) .

【解析】試題分析：

(1)當時， ，利用導函數研究函數的單調性可得函數的增區間為，減區間為；

(2)求解導函數有，令，則方程必有兩個不等的正根，據此結合二次方程根的分布可得實數的取值范圍是；

(3)求解導函數， ，分類討論時和時兩種情況可得的取值范圍是.

試題解析：

（1）的定義域為，

當時， ，令得，

當時，當時， ，

∴函數的增區間為，減區間為；

（2），則，

令，若函數有兩個極值點，

則方程必有兩個不等的正根，

設兩根為，于是，解得，

當時， 有兩個不相等的正實根，設為，不妨設，

則，

當時， ， ， 在上為減函數；

當時， ， 在上為增函數；

當時， ，函數在上為減函數．

由此， 是函數的極小值點， 是函數的極大值點．符合題意 ．

綜上，所求實數的取值范圍是；

（3），

①當時， ，

當時， 的上為減函數；

當時， 在上為增函數，

所以，當時， 的值域是，

不符合題意．

②當時， ，

（i）當，即時，當變化時， 的變化情況如下：

				1
	-	0	+	0	-
	減函數	極小值	增函數	極大值	減函數

若滿足題意，只需滿足，即，

整理得，令，

當時， ，所以在上為增函數，

即當時， ，

可見，當時， 恒成立，

故當時，函數的值域是；

所以滿足題意．

（ii）當，即時， ，當且僅當時取等號，

所以在上為減函數，從而在上為減函數，

符合題意；

（iii）當，即時，當變化時， 的變化情況如下表：

		1
	-	0	+	0	-
	減函數	極小值0	增函數	極大值	減函數

若滿足題意，只需滿足，且（若，不符合題意），

即，且，

又，所以，此時， ，

綜上， ，

所以，實數的取值范圍是．