Question

【題目】已知函數 ．
（1）當a＜0時，若x＞0，使f（x）≤0成立，求a的取值范圍；
（2）令g（x）=f（x）﹣（a+1）x，a∈（1，e]，證明：對x1 ， x2∈[1，a]，恒有|g（x1）﹣g（x2）|＜1．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a＜0，由 ．

令f′（x）=0，

∴

列表：

x
f′（x）	﹣	0	+
f（x）	減函數	極小值	增函數

這是 ．

∵x＞0，使f（x）≤0成立，

∴ ，

∴a≤﹣e，

∴a范圍為（﹣∞，﹣e]．

（2）解：因為對x∈[1，a]， ，所以g（x）在[1，a]內單調遞減．所以 ．

要證明|g（x1）﹣g（x2）|＜1，

只需證明 ＜1，

即證明 ＜0．

令 ，

＞0，

所以 在a∈（1，e]是單調遞增函數，

所以 ＜0，

故命題成立

【解析】（1）求出函數f（x）的導函數，令導函數等于0求出根，列出x，f′（x），f（x）的情況變化表，通過表得到函數的最小值，令最小值小于等于0即可．（2）求出g（x）的導函數，判斷出導函數的符號，得到函數g（x）遞減，求出g（x）的最大值及最小值，通過分析法只需證得最大值與最小值差的絕對值小于1即可，構造新函數h（x），h（x）的導函數，判斷出其符號，進一步求出h（x）的最大值，得證．
【考點精析】利用利用導數研究函數的單調性對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．