Question

【題目】函數f(x)對任意的m，n∈R都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x＞0時，恒有f(x)＞1.

(1)求證：f(x)在R上是增函數；

(2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)＜2

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）a∈(－3,2)

【解析】

（1）設且，根據題意得，進而得出，即，即可得到函數的單調性；

（2）由題意，設，求得，又由，得出，則不等式可轉化為，再利用函數的單調性，轉化為，即可求解.

(1)證明：設x1，x2∈R，且x1＜x2，

∴x2－x1＞0，∵當x＞0時，f(x)＞1，

∴f(x2－x1)＞1.

f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)－1，

∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1＞0f(x1)＜f(x2)，

∴f(x)在R上為增函數.

(2)∵m，n∈R，不妨設m＝n＝1，

∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1f(2)＝2f(1)－1，

f(3)＝4f(2＋1)＝4f(2)＋f(1)－1＝43f(1)－2＝4，

∴f(1)＝2，∴f(a2＋a－5)＜2＝f(1)，

∵f(x)在R上為增函數，

∴a2＋a－5＜1－3＜a＜2，即a∈(－3,2)