Question

已知，，直線與函數、的圖象都相切，且與函數的圖象的切點的橫坐標為.
(Ⅰ)求直線的方程及的值；
(Ⅱ)若(其中是的導函數)，求函數的最大值；
(Ⅲ)當時，求證：.

Answer 1

(Ⅰ)直線的方程為. .
(Ⅱ)當時，取最大值，其最大值為2.
(Ⅲ)

試題分析：(Ⅰ)，.∴直線的斜率為，且與函數的圖象的切點坐標為.  ∴直線的方程為. 又∵直線與函數的圖象相切,
∴方程組有一解. 由上述方程消去，并整理得
        ①
依題意，方程①有兩個相等的實數根，
解之，得或      .
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知， 
 .  .
∴當時，，當時，.
∴當時，取最大值，其最大值為2.
(Ⅲ) .
，  ， .
由(Ⅱ)知當時，  ∴當時，，
.     ∴
點評：典型題，切線的斜率，等于在切點的導函數值。利用導數研究函數的極值，一般遵循“求導數、求駐點、研究導數的正負、確定極值”，利用“表解法”，清晰易懂。不等式的證明問題，往往通過構造函數，通過研究函數的最值達到目的。