Question

【題目】甲乙兩人進行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局仍未出現連勝，則判定獲勝局數多者贏得比賽．假設每局甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局比賽結果相互獨立．

(1)求甲在4局以內(含4局)贏得比賽的概率；

(2)記X為比賽決出勝負時的總局數，求X的分布列和均值(數學期望)．

Answer 1

【答案】(1) ；(2) .

【解析】試題分析：

(1)由題意列出所有可能的事件求解概率可得甲在4局以內(含4局)贏得比賽的概率是；

(2)X的可能取值為2,3,4,5.據此求得分布列，然后可得數學期望為 .

試題解析：

用A表示“甲在4局以內(含4局)贏得比賽”，Ak表示“第k局甲獲勝”，Bk表示“第k局乙獲勝”，則P(Ak)＝，P(Bk)＝，k＝1,2,3,4,5.

(1)P(A)＝P(A1A2)＋P(B1A2A3)＋P(A1B2A3A4)

＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)·P(A3)P(A4)

＝2＋×2＋××2＝.

(2)X的可能取值為2,3,4,5.

P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(B1B2)＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(B2)＝，

P(X＝3)＝P(B1A2A3)＋P(A1B2B3)

＝P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(B3)＝，

P(X＝4)＝P(A1B2A3A4)＋P(B1A2B3B4)

＝P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＋P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)＝，

P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝.

故X的分布列為

	2	3	4	5

E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＝.