Question

【題目】已知集合．對于， ，定義與之間的距離為．

（Ⅰ）寫出中的所有元素，并求兩元素間的距離的最大值；

（Ⅱ）若集合滿足： ，且任意兩元素間的距離均為2，求集合中元素個數的最大值并寫出此時的集合；

（Ⅲ）設集合， 中有個元素，記中所有兩元素間的距離的平均值為，證明．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）見解析;（Ⅲ）見解析.

【解析】試題分析：

(1)在新定義的 中令 ，結合集合的定義求得 并求解“距離”的最大值即可；

(2)數形結合，將問題轉化為正方體在空間直角坐標系中的坐標，利用幾何關系處理該問題使得問題更加簡單明了；

(3)利用題意結合排列組合的知識處理 的式子，然后結合組合數和不等式的性質進行放縮即可證得結論.

試題解析：

（Ⅰ）， ， ．

（Ⅱ）中含有8個元素，可將其看成正方體的8個頂點，已知集合中的元素所對應的點，應該兩兩位于該正方體面對角線的兩個端點，所以

或，

集合中元素個數最大值為4．

（Ⅲ），其中表示中所有兩個元素間距離的總和．

設中所有元素的第個位置的數字中共有個1， 個0，則

由于

所以

從而