Question

【題目】在平面直角坐標系中，橢圓：的離心率為，直線被橢圓截得的線段長為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過原點的直線與橢圓交于，兩點（，不是橢圓的頂點），點在橢圓上，且.直線與軸、軸分別交于，兩點.設直線，的斜率分別為，，證明存在常數使得，并求出的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）甶橢圓離心率得到 的關系，化簡橢圓方程，和直線方程聯立后求出交點的橫坐標，把弦長用交點橫坐標表示，則 的值可求，進一步得到 的值，則橢圓方程可求；（2）設出 的坐標分別為用 的坐標表示 的坐標，把 和的斜率都用的坐標表示，寫出直線的方程，和橢圓方程聯立后利用根與系數關系得到橫縱坐標的和，求出中點坐標，則 斜率可求，再寫出所在直線方程，取 得到 點坐標，由兩點求斜率得到 的斜率，由兩直線斜率的關系得到 的值；

試題解析：（Ⅰ）∵，∴，，∴.①

設直線與橢圓交于，兩點，不妨設點為第一象限內的交點.∴，∴代入橢圓方程可得.②

由①②知，，所以橢圓的方程為：.

（Ⅱ）設，則，直線的斜率為，又，故直線的斜率為.設直線的方程為，由題知

，聯立，得.

∴，，由題意知，

∴，直線的方程為.

令，得，即，可得，∴，即.

因此存在常數使得結論成立.