Question

【題目】已知函數（， 為自然對數的底數）.

（1）討論函數的單調性；

（2）若，函數在上為增函數，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）求函數的導數 通過和 兩種情況分類討論，分別判斷函數的單調性．
（Ⅱ）當 時，化簡 通過 在 上為增函數，轉化 在 恒成立，推出 在 恒成立，通過構造新函數利用導數求出函數的最值，推出結果即可．

試題解析：（1）函數的定義域為， .

當時， ，∴在上為增函數；

當時，由得，

則當時， ，∴函數在上為減函數，

當時， ，∴函數在上為增函數.

（2）當時， ，

∵在上為增函數；

∴在上恒成立，

即在上恒成立，

令， ，

.

令， 在上恒成立，

即在上為增函數，即，∴，

即在上為增函數，∴，

∴.

所以實數的取值范圍是.