Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，其中，，，等邊所在平面與平面垂直．

（Ⅰ）點在棱上，且，為的重心，求證：平面；

（Ⅱ）求三棱錐的體積．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】（Ⅰ）如圖，在棱上取點，使得；連接并延長，交于點．

因為在中，，所以，

又四邊形為平行四邊形，所以，

所以． -----------------2分

在中，為重心，所以，

又，所以．

又，，

所以平面平面．

又平面，所以平面． ---------5分

（Ⅱ）在中，，，，

所以的面積．--7分

取的中點，連結(jié)、．

在中，，所以，且．

又因為平面平面，平面平面，

所以平面．--------------10分

故三棱錐的體積．-------12分

【命題意圖】本題考查空間中線面平行的證明、幾何體體積的求解，考查基本的空間想象能力和邏輯推理能力、運算能力等．