Question

【題目】已知函數{an}：a1=t，n2Sn+1=n2（Sn+an）+an2 ， n=1，2，…．
（1）設{an}為等差數列，且前兩項和S2=3，求t的值；
（2）若t= ，證明： ≤an＜1．

Answer 1

【答案】
（1）解：設等差數列公差為d，則2t+d=3，

又 ，

得a1=1或a1=﹣3，

但當a1=﹣3時，d=9，無法使 恒成立，

∴t=1．

（2）解：先證an＜1．

易知an＞0， ，故{an}為遞增數列，

從而 ，

∴ 有 ，

由疊加法有 （n≥2），

注意到 （k≥2），

∴ ， =

從而 ，即an＜1（n≥2），

又 ，有an＜1（n∈N*）成立．

再證 ，

當n=1時， 成立，

由an＜1， ，

從而 =

∴ ，即有 ，

疊加有 （n≥2），

又 ，

從而 =

∴ ，即有 （n≥2），

綜上 （n∈N*）．

【解析】（1）利用等差數列的通項公式即可得出；（2）先證an＜1．易知an＞0，且{an}為遞增數列，利用遞推關系可得： ，利用“累加求和”方法即可證明．再證 ，當n=1時， 成立，由an＜1，可得： ，利用“累加求和”方法即可得出．
【考點精析】認真審題，首先需要了解等差數列的通項公式（及其變式）(通項公式：或)，還要掌握數列的通項公式(如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式)的相關知識才是答題的關鍵．