Question

【題目】直角三角形ABC中角A，B，C對邊長分別為a，b，c，∠C=90°．
（1）若三角形面積為2，求斜邊長c最小值；
（2）試比較an+bn與cn（n∈N*）的大小，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ab=2，∴ab=4．

∵∠C=90°，

∴a2+b2=c2≥2ab=8，解得c≥ ．當且僅當a=b=2時取等號．

∴斜邊長c最小值為2

（2）解：①當n=1時，a+b＞c；

②當n=2時，∵∠C=90°，∴a2+b2=c2；

③當n≥3時，設cosθ= ，sinθ= ， ．

則 =cosnθ+sinnθ＜cos2θ+sin2θ=1，

∴an+bn＜cn．

【解析】（1）由 ab=2，可得：ab=4．由∠C=90°，可得a2+b2=c2 ， 利用基本不等式的性質即可得出．（2）①當n=1時，利用三角形三邊大小關系可得a+b＞c；②當n=2時，由∠C=90°，利用勾股定理可得a2+b2=c2；③當n≥3時，設cosθ= ，sinθ= ， ．由 =cosnθ+sinnθ，再利用三角函數的單調性即可得出．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解基本不等式的相關知識，掌握基本不等式：,（當且僅當時取到等號）；變形公式：．