Question

【題目】如圖，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面四邊形ABCD為菱形，A1A＝AB＝2，∠ABC＝，E，F分別是BC，A1C的中點．

（1）求異面直線EF，AD所成角的余弦值；

（2）點M在線段A1D上， ．若CM∥平面AEF，求實數λ的值．

Answer 1

【答案】(1) ．（2）．

【解析】試題分析：（1）由四棱柱，證得，進而得到，以為正交基底建立空間直角坐標系，利用向量坐標運算，即可求解所成角的余弦值；

（2）設，由點在線段上，得到，得出向量則坐標表示，再求得平面的一個法向量，利用向量的數量積的運算，即可得到的值。

試題解析：

因為四棱柱ABCD－A1B1C1D1為直四棱柱，所以A1A⊥平面ABCD．

又AE平面ABCD，AD平面ABCD，所以A1A⊥AE，A1A⊥AD．

在菱形ABCD中∠ABC＝，則△ABC是等邊三角形．

因為E是BC中點，所以BC⊥AE．

因為BC∥AD，所以AE⊥AD．

以{，， }為正交基底建立空間直角坐標系．

則A(0，0，0)，C(，1，0)，D(0，2，0)，

A1(0，0，2)，E(，0，0)，F(，，1)．

（1）＝(0，2，0)，＝(－，，1)，所以·＝1．

從而cos＜，＞＝＝．

故異面直線EF，AD所成角的余弦值為．

（2）設M(x，y，z)，由于點M在線段A1D上，且＝λ，

則＝λ，即(x，y，z－2)＝λ(0，2，－2)．

則M(0，2λ，2－2λ)，＝(－，2λ－1，2－2λ)．

設平面AEF的法向量為n＝(x0，y0，z0)．

因為＝(，0，0)，＝(，，1)，

由n·＝0，n·＝0，得x0＝0， y0＋z0＝0．

取y0＝2，則z0＝－1，

則平面AEF的一個法向量為n＝(0，2，－1)．

由于CM∥平面AEF，則n·＝0，即2(2λ－1)－(2－2λ)＝0，解得λ＝．