Question

已知圓C：x²+y²+2x-4y+4=0
（1）過P（-2，5）作圓C的切線，求切線方程；
（2）斜率為2的直線與圓C相交，且被圓截得的弦長為

3

，求此直線方程．
（3）Q（x，y）為圓C上的動點，求

x2+y2+6x+4y+13

的最值．

Answer 1

分析：（1）由圓的方程求出圓心和半徑，當切線斜率不存在時，切線方程為 x=-2．當切線斜率存在時，用點斜式設出切線方程，由圓心到切線的距離等于半徑，求得斜率，即可得到圓的切線方程．
（2）由題意可得可得圓心到直線的距離為

1

2

，設直線的方程為 y=2x+b，由

1

2

=

|-2-2+b|

22+1

，求得b的值，可得直線的方程．
（3）由于

x2+y2+6x+4y+13

=

(x+3)2+(y+2)2

，表示圓上的點Q（x，y）到點（-3，-2）的距離．求出圓心C（-1，2）到點（-3，-2）的距離，將此值加上或減去半徑，即得所求．

解答：解：（1）圓C：x²+y²+2x-4y+4=0 即 （x+1）²+（y-2）²=1，表示以C（-1，2）為圓心，半徑等于1的圓．
過P（-2，5）作圓C的切線，當切線斜率不存在時，切線方程為 x=-2．
當切線斜率存在時，設切線方程為 y-5=k（x+2），即 kx-y+2k+5=0．
由圓心到切線的距離等于半徑，可得1=

|-k-2+2k+5|

k2+1

，k=-

4

3

，此時，切線方程為-

4

3

x-y-

8

3

+5=0，即4x+3y-7=0，
故圓的切線方程為 x=-2，或4x+3y-7=0．
（2）斜率為2的直線與圓C相交，且被圓截得的弦長為

3

，可得圓心到直線的距離為

1

2

．
可設直線的方程為 y=2x+b，即 2x-y+b=0．
由

1

2

=

|-2-2+b|

22+1

，b=4±

5

2

，故直線方程為 2x-y+4+

5

2

=0，或  2x-y+4-

5

2

=0．
（3）由于

x2+y2+6x+4y+13

=

(x+3)2+(y+2)2

，表示圓上的點Q（x，y）到點（-3，-2）的距離．
由于圓心C（-1，2）到點（-3，-2）的距離等于2

5

，
故

x2+y2+6x+4y+13

的最小值為2

5

-1，最大值為2

5

+1．

點評：本題主要考查圓的標準方程，直線和圓的位置關系，點到直線的距離公式的應用，屬于中檔題．