Question

【題目】設O是坐標原點，橢圓C：x2+3y2=6的左右焦點分別為F1 ， F2 ， 且P，Q是橢圓C上不同的兩點， （Ⅰ）若直線PQ過橢圓C的右焦點F2 ， 且傾斜角為30°，求證：|F1P|、|PQ|、|QF1|成等差數列；
（Ⅱ）若P，Q兩點使得直線OP，PQ，QO的斜率均存在．且成等比數列．求直線PQ的斜率．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：x2+3y2=6即為 ， 即有a= ，b= ，c= =2，
由直線PQ過橢圓C的右焦點F2（2，0），且傾斜角為30°，
可得直線PQ的方程為y= （x﹣2），
代入橢圓方程可得，x2﹣2x﹣1=0，
即有x1+x2=2，x1x2=﹣1，
由弦長公式可得|PQ|=
= = ，
由橢圓的定義可得|F1P|+|PQ|+|QF1|=4a=4 ，
可得|F1P|+|QF1|=4 ﹣ = =2|PQ|，
則有|F1P|、|PQ|、|QF1|成等差數列；
（Ⅱ）設直線PQ的方程為y=kx+m，代入橢圓方程x2+3y2=6，
消去y得：（1+3k2）x2+6kmx+3（m2﹣2）=0，
則△=36k2m2﹣12（1+3k2）（m2﹣2）
=12（6k2﹣m2+2）＞0，
x1+x2=﹣ ，x1x2= ，
故y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2 ，
∵直線OP、PQ、OQ的斜率依次成等比數列，
∴ = =k2 ，
即km（x1+x2）+m2=0，即有﹣ +m2=0，
由于m≠0，故k2= ，
∴直線PQ的斜率k為±
【解析】（I）求得橢圓的a，b，c，設出直線PQ的方程，代入橢圓方程，運用韋達定理和弦長公式可得|PQ|，再由橢圓的定義可得|F1P|+|PQ|+|QF1|=4a，由等差數列的中項的性質，可得結論；（Ⅱ）設出直線PQ的方程，代入橢圓方程，運用韋達定理和判別式大于0，由等比數列的中項的性質，結合直線的斜率公式，化簡整理，解方程即可得到直線PQ的斜率．