Question

【題目】以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，且兩個坐標系取相等的長度單位．已知直線l的參數方程為 （t為參數，0＜α＜π），曲線C的極坐標方程為ρsin2θ=4cosθ． （Ⅰ）求曲線C的直角坐標方程；
（Ⅱ）設直線l與曲線C相交于A、B兩點，當α變化時，求|AB|的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由ρsin2θ=4cosθ，得（ρsinθ）2=4ρcosθ， ∴曲線C的直角坐標方程為y2=4x．
（Ⅱ）將直線l的參數方程代入y2=4x，得t2sin2α﹣4tcosα﹣4=0．
設A、B兩點對應的參數分別為t1、t2 ，
則t1+t2= ，t1t2=﹣ ，
∴|AB|=|t1﹣t2|= = = ，
當α= 時，|AB|的最小值為4
【解析】（1）利用 即可化為直角坐標方程；（2）將直線l的參數方程代入y2=4x，利用根與系數的關系、弦長公式及參數的幾何意義即可得出．