Question

在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC與BD的交點M恰好是AC中點，又PA=AB=4，∠CDA=120°.

（1）求證：BD⊥PC；
（2）設E為PC的中點，點F在線段AB上，若直線EF∥平面PAD，求AF的長；
（3）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．

Answer 1

（1）證明過程詳見解析；（2）；（3）.

解析試題分析：本題主要以四棱錐為幾何背景考查線線垂直的判定和線面平行垂直的判定以及二面角的求法，可以運用傳統幾何法，也可以用空間向量法求解，突出考查空間想象能力和計算能力.第一問，先利用正三角形的性質得出與垂直，再利用線面垂直的性質得出與垂直，利用線面垂直的判定得垂直平面，從而得證；第二問，先利用中位線證出，再根據線面平行的判定定理證明平面，再根據已知條件得面面平行，所以得到，再轉化邊和角的值求出；第三問，先根據題意，建立空間直角坐標系，得出各個點坐標，計算出平面的法向量和平面的法向量，再利用夾角公式求出余弦值.
試題解析：（1）∵是正三角形，是中點，
∴，即.
又∵平面，∴.
又，∴平面.
∴.
（2）取中點連接則平面.
又直線平面，
所以平面平面，
∴，
∵為中點，，
∴，
∵，，
∴，，
∵，，得.
（3）分別以，，為軸，軸，軸建立如圖的空間直角坐標系，
∴，，，．
為平面的法向量．
，．
設平面的一個法向量為，
則，即，
令，得，，則平面的一個法向量為