Question

已知點P（x₀，y₀）是漸近線為2x±3y=0且經過定點（6，2

3

）的雙曲線C₁上的一動點，點Q是P關于雙曲線C₁實軸A₁A₂的對稱點，設直線PA₁與QA₂的交點為M（x，y），
（1）求雙曲線C₁的方程；
（2）求動點M的軌跡C₂的方程；
（3）已知x軸上一定點N（1，0），過N點斜率不為0的直線L交C₂于A、B兩點，x軸上是否存在定點 K（x₀，0）使得∠AKN=∠BKN？若存在，求出點K的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）直接設設c₁方程為 4x²-9y²=λ，又點（6，2

3

）在曲線上代入得λ=36即可得到結論；
（2）結合已知得到KPA 1=

y

x+3

=

y0

x0+3

，KPA 2=

y

x-3

=

-y0

x0-3

；相乘整理即可得到結論；
（3）先聯立直線方程與曲線方程，得到y1+y2=

-8t

9+4t2

，y₁y₂=

-5

9+4t2

；根據∠AKN=∠BKN得到K_AN+K_BN=0；整理后結合已知條件即可求出結論．

解答：解：（1）可設c₁方程為 4x²-9y²=λ，又點（6，2

3

）在曲線上代入得λ=36．
所以雙曲線C₁的方程為：

x2

9

-

y2

4

=1                      …（4分）
（2）由題意A₁（-3，0），A₂（3，0），Q（x₀，-y₀）．
當P異于頂點時，KPA 1=

y

x+3

=

y0

x0+3

，KQA 2=

y

x-3

=

-y0

x0-3

所以 

y2

x2-9

=

-y02

x02-9

=-

4

9

   即  

x2

9

+

y2

4

=1，  (x≠±3)．
當P為頂點時直線PA₁與 QA₂的交點為頂點
所以      

x2

9

+

y2

4

=1．…（9分）
（3）設L交曲線C₂于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可設L方程為x=ty+1 （t≠0）
代入C₂方程得   （9+4t²）y²+8ty-32=0
y1+y2=

-8t

9+4t2

，y₁y₂=

-32

9+4t2

．
若存在K，則K_AK+K_BK=0，
∴y₁（ty₂+1-x_K）+y₂（ty₁+1-x_K）=0
即  2t•

-32

9+4t2

+（1-x_K）•

-8t

9+4t2

=0對t恒成立
所以  x_K=9
故點K坐標為（9，0）…（14分）

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題．解決這類問題的常用方法時，聯立直線方程與圓錐曲線方程，再結合已知條件求解．