Question

【題目】已知拋物線的焦點為F，過F作平行于x軸的直線交拋物線于A，B兩點(A在B的左側)，若△AOB的面積為2.

(1)求拋物線C的方程；

(2)設P是拋物線C的準線上一點，Q是拋物線上的一點，若PF⊥QF，求證：直線PQ與拋物線相切.

Answer 1

【答案】(1) ； (2)見解析.

【解析】

(1)由題意可得，則|由，可得，從而可得結果；（2）設，顯然時不滿足題意. 當時，.又直線的方程為，將代入整理得，則或，而，則，所以，從而可得結論.

(1)由題意可得，則|AB|=2p，△AOB的面積，所以p=2，則拋物線C的方程為.

(2)證明:顯然FQ的斜率存在，設為k，當k=0時，P(0,-1，Q(2,1)或(-2,1)，直線或y=-x-1，與拋物線聯立，得判別式△=0，所以此時直線與拋物線C相切；當k≠0時，設直線，

因為PF⊥QF，則直線PF的方程為，

由得P(2k,- 1)，消去y得，

由Q是直線FQ與拋物線C的交點，

設，顯然時不滿足題意.

當時，.

又直線PQ的方程為，將，即代入整理得，

則或，而，則，

所以，故直線PQ與拋物線C相切.·