Question

【題目】已知函數f（x）= ，定義域為[0，2π]，g（x） 為f（x） 的導函數．
（1）求方程g（x）=0 的解集；
（2）求函數g（x） 的最大值與最小值；
（3）若函數F（x）=f（x）﹣ax 在定義域上恰有2個極值點，求實數a 的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）= ，定義域為[0，2π]，

∴f′（x）=﹣ + ，

∵g（x） 為f（x） 的導函數，

∴由方程g（x）=0 得 =0，

解得 ，或x= ，

∴方程g（x）=0 的解集為{ ， }

（2）解：∵ + ﹣ =﹣2× ，

令g′（x）=0，解得x= 或x= ，

x	0	（0， ）		（ ， ）		（ ，2π）	2π
g′（x）		﹣	0	0	0	﹣
g（x）	1	↓		↑		↓	e﹣2π

∴g（x）的最大值為g（0）=1，

∴g（x）的最小值為g（ ）=﹣

（3）解：∵ ﹣a=g（x）﹣a，

∴函數F（x）=f（x）﹣ax在定義域上恰有2個極值點，

等價于g（x）﹣a=0在定義域外上恰有兩個零點且零點處異號，

即y=a的圖象恰恰有兩個交點，

由（2）知F′（0）=g（0）﹣a=1﹣a，

F′（2π）=g（2π）﹣a=e﹣2π﹣a，

，

F′（2π）=g（2π）﹣a=e﹣2π﹣a，

若 ，則F′（2π）＜0，

∴F′（x）=0只有一個零點，不成立．∴ ．

若 ，即a= 在x= 處同號，不成立；

若F′（2π）≤0，則F′（x）=0有3個零點，不成立．

∴只有F′（2π）＞0，

∴滿足條件為： ，

解得 ＜a＜e﹣2π或a= ．

∴實數a 的取值范圍是{a| ＜a＜e﹣2π或a= }

【解析】（1）f′（x）=﹣ + ，由方程g（x）=0 得 =0，由此能求出方程g（x）=0 的解集．（2） + ﹣ =﹣2× ，令g′（x）=0，解得x= 或x= ，由此利用導數性質能求出g（x）的最值．（3）函數F（x）=f（x）﹣ax在定義域上恰有2個極值點，等價于y=a的圖象恰恰有兩個交點，由此利用分類討論思想能求出實數a 的取值范圍．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的極值與導數的相關知識，掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值，以及對函數的最大(小)值與導數的理解，了解求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．