Question

【題目】如圖1 ,在△ABC中，AB=BC=2, ∠B=90°,D為BC邊上一點，以邊AC為對角線做平行四邊形ADCE，沿AC將△ACE折起，使得平面ACE ⊥平面ABC,如圖2.

(1)在圖 2中，設M為AC的中點，求證:BM丄AE；

(2)在圖2中，當DE最小時，求二面角A -DE-C的平面角.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）根據題設條件推出，再由平面平面推出平面，即可得證；（2）分別以射線， 的方向為， 軸的正方向，建立空間直角坐標系，求出當最小時，點和的坐標，分別求出平面和平面的法向量，代入向量夾角公式，可得二面角的平面角.

試題解析：（1）證明：∵在中， ，

∴當為的中點時，

∵平面平面， 平面，平面平面

∴平面

∵平面

∴

（2）如圖，分別以射線， 的方向為， 軸的正方向，建立空間直角坐標系

設，則， ， ，

∵， ，平面平面

∴

∴

當且僅當時， 最小，此時，

設， 平面，則，即

∴

令，可得， ，則有

∴

∴觀察可得二面角的平面角